Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a∈R，b∈R，当a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）求证：f（x

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a∈R，b∈R，当a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）求证：f（x）在R上为增函数；（2）若f（9x-2?3x）+f（2?9x-k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）设x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，
则由条件可得

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

＞0，
则f（x₁）+f（-x₂）＜0，
即f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在R上为增函数；
（2）∵f（x）在R上为增函数且函数f（x）是奇函数，若f（9^x-2?3^x）+f（2?9^x-k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴不等式等价为f（9^x-2?3^x）＞-f（2?9^x-k）=f（k-2?9^x），
则9^x-2?3^x＞k-2?9^x，
即k＜3?9^x-2?3^x对任意x∈[0，+∞）恒成立，
设u=3?9^x-2?3^x，
设t=3^x，则t≥1，
则u=3?9^x-2?3^x=u=3?t²-2?t=3（t-

1

3

）²-

1

3

≥1，
∴k＜1．