Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有 f(a)+f(b) a+b ＞0（1）．若a＞

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有 f(a)+f(b) a+b ＞0（1）．若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）．若f（k?3 x ）+f（3 x -9 x -2）＜0对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有 f(a)+f(b) a+b ＞0 ∴ f(a)+f(-b) a-b ＞0， ∵a＞b， ∴a-b＞0， ∴f（a）+f（-b）＞0， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（-b）=-f（b）， ∴f（a）-f（b）＞0， ∴f（a）＞f（b） （2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数， 又f（k?3 x ）+f（3 x -9 x -2）＜0， 得f（k?3 x ）＜-f（3 x -9 x -2）=f（9 x -3 x +2）， 故k?3 x ＜9 x -3 x +2， ∴k＜ 3 x + 2 3 x -1 ， 令t=3 x ， ∵x∈[-1，1]恒成立， ∴t= 3 x ∈[ 1 3 ，3] ， ∴k＜t+ 2 t -1 ， 而t+ 2 t ≥2 2 ， 当且仅当t= 2 t ，t= 2 时，取等号， 即k＜2 2 -1．