Question

已知f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=-1．（1）求证：f（2

已知f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=-1．（1）求证：f（2）=1；（2）求不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集．

Answer 1

（1）∵令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令x=2，y=

1

2

，
则f（1）=f（2）+f（

1

2

），
∴f（2）=1，
（2）∵f（x）-f（x-3）＞1，
∴f（x）＞f（x-3）+f（2）=f（2x-6），
∵f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，
∴

x＞2x?6 x＞0 2x?6＞0

，
解得，3＜x＜6，
故不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集为（3，6）．