Question

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=12[f（x1）+f（x2）]成立．

Answer 1

（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，
∴f（1）=1；
∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴-

b

2a

=-1，b=2a．
∵当x∈R时，函数的最小值为0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
∴a=c．
∴f（x）=ax²+2ax+a．又f（1）=1，
∴a=c=

1

4

，b=

1

2

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²；
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则
g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]，
∵f（x₁）≠f（x₂）
∴g（x₁）g（x₂）＜0，所以g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一个实根，
即存在x₀∈（x₁，x₂）使f（x₀）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立．