Question

已知函数f（x）=x2+ax+3-a，其中x∈[-2，2]．（1）当a∈R时，讨论它的单调性；（2）若f（x）≥12-4a恒成

已知函数f（x）=x2+ax+3-a，其中x∈[-2，2]．（1）当a∈R时，讨论它的单调性；（2）若f（x）≥12-4a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x²+ax+3-a，对称轴方程为x＝?

a

2

，
下面分三种情况讨论：
当?

a

2

≤?2得a≥4，f（x）单调增区间为[-2，2]；
当?

a

2

≥2得a≤-4，f（x）单调减区间为[-2，2]；
当-4≤a≤4时，f（x）单调增区间为[?2，?

a

2

]，单调减区间为(?

a

2

，2]；
（2）方法一：当-

a

2

≤-2得a≥4，f（x）单调增区间为[-2，2]，f（x）_min=f（-2），
当-4≤a≤4时，f（x）单调增区间为[-2，-

a

2

]，单调减区间为（-

a

2

，2]，f(x)min＝f(?

a

2

)，
当-

a

2

≥2得a≤-4，f（x）单调减区间为[-2，2]，f（x）_min=f（2），
若x∈[-2，2]时，有f（x）≥12-4a恒成立；
则

? a 2 ≤?2 f(?2)＝7?3a≥12?4a

?a≥5，或

?2＜? a 2 ＜2 f(? a 2 )＝? a2 4 +3?a≥12?4a

?无解，或

? a 2 ≥2 f(2)＝7+a≥12?4a

?无解，
综上可知，a≥5所以，a的取值范围是[5，+∞）；
方法二：若x∈[-2，2]时，有f（x）≥12-4a恒成立；
则，f（-2）≥12-4a?a≥5，
而当a≥5时，f（x）在[-2，2]上单调递增；所以，x∈[-2，2]，f（x）_min=f（-2），
若x∈[-2，2]时，有f（x）≥12-4a恒成立，
则

a≥5 f(?2)＝7?3a≥12?4a

?a≥5，
所以，a的取值范围是[5，+∞）．