Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，并且满足a n ＞0， ．（1）求a 1 ，a 2 ，a 3 ；（2）猜测数列{a n }的通

设数列{a n }的前n项和为S n ，并且满足a n ＞0， ．（1）求a 1 ，a 2 ，a 3 ；（2）猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：（1）分别令n=1，2，3，得 ∵a n ＞0， ∴a 1 =1，a 2 =2，a 3 =3． （2）由（1）的结论：猜想a n =n 1）当n=1时，a 1 =1成立； 2）假设当n=k时，a k =k． 那么当n=k+1时， ∵2S k+1 =a k+1 2 +k+1， ∴2（a k+1 +S k ）=a k+1 2 +k+1， ∴a k+1 2 =2a k+1 +2S k ﹣（k+1） =2a k+1 +（k 2 +k）﹣（k+1）=2a k+1 +（k 2 ﹣1） ∴[a k+1 -（k+1）][a k+1 +（k﹣1）]=0． ∵a k+1  +（k-1）＞0， ∴a k+1 =k+1，这就是说，当 n=k+1时也成立，故对于n∈N*，均有 a n =n.