Question

如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，延长AB到E，使BE=CD，连接DE交BC于F．（1）DF=EF；（2）

如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，延长AB到E，使BE=CD，连接DE交BC于F．（1）DF=EF；（2）若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a、b满足a2+b2-10a-6b+34=0，求BF的长；（3）若△ABC的边长为5，设CD=x，BF=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：过点D作DG∥AB交BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
又∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠CGD=60°，
∠GDF=∠E，
∴△CDG也是等边三角形，
∴DG=CD=BE，
在△DGF和△EBF中，

∠GDF＝∠E ∠DFG＝∠EFB DG＝BE

∴△DGF≌△EBF（AAS），
∴DF=EF；

（2）解：由a²+b²-10a-6b+34=0，得（a-5）²+（b-3）²=0，
∵（a-5）²≥0，（b-3）²≥0，
∴（a-5）²=0，（b-3）²=0，
∴a=5，b=3，即：BC=5，CG=BE=3，
又∵△DGF≌△EBF，
∴BF=GF，
∴BF=

1

2

BG=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（5-3）=1；

（3）解：∵CD=x，BF=y，BC=5，
又∵BF=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（BC-CD）=

1

2

（5-x），
∴y=-

1

2

x+

5

2

为所求的解析式，
∵点D直线直线AC上，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜5．