Question

在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，b=7，则a2+c2的最小值为______

在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，b=7，则a2+c2的最小值为______．

Answer 1

∵cos2B+cosB+cos（A-C）=1，
∴cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
即1-2sin²B-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=1，
即sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得ac=b²，（a，b，c＞0），
∴a²+c²≥2ac=2b²=14．
故答案为：14．