Question

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

Answer 1

假设存在一组常数k，k₁，…，k_t，使得：
kβ+

t

i＝1

ki(β+αi)=0，
即：(k+

t

i＝1

ki)β=

t

i＝1

(?ki)αi．①，
①上式两边同时乘以矩阵A，则有
(k+

t

i＝1

ki)Aβ=

t

i＝1

(?ki)Aαi．
因为：α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，
所以：Aα_i=0，故有
(k+

t

i＝1

ki)Aβ=0，
又因为：Aβ≠0，
所以：k+

t

i＝1

ki=0，②，
将②代入①式左端，得：

t

i＝1

(?ki)αi=0．
因为：α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，
所以：α₁，α₂，…，α_t是线性无关，
从而：k₁=…=k_t=0，
将上式又代入②式得：
k=?

t

i＝1

ki=0，
所以：k=k₁=…=k_t=0，
因此，向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关，证毕．