Question

如图,二次函数y=1/2(x-3)²-1的图像与x轴交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D。

（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与该图像的对称轴交于点E,连接AE,AD,求∠DAE的大小；
（3）设点E关于点D的对称点为F,分别以E,F为圆心，1为半径作圆，该二次函数的图像上是否存在一点P，使得过P向两个圆各作一条切线PM，PN（M，N为切点），且PM，PN刚好可以作为一个斜边为4的直角三角形的两条直角边，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)令y=0, 1/2(x-3)^2-1=0, (x-3)^2=2, x=3±√2， 点A(3-√2,0), B(3+√2,0),
令x=0, y=7/2, 点C(0,7/2), 顶点D（3，-1）

(2) K(CD)=[7/2-(-1)]/(0-3)=-3/2, 所以K（OE）=2/3, 直线OE的方程为y=2x/3(正比例函数)， 以x=3代入，得y=2, 所以点E（3，2）
K（EA）=(2-0)/(3-(3-√2))=√2, K(AD)=(0-(-1))/[(3-√2-3]=1/(-√2)
因为K(EA)*K(AD)=-1, 所以EA⊥AD, 即 角DAE=90°

(3)F(3,-4),E(3,2),设点P为（m,n），点P在抛物线上，n=1/2(m-3)^2-1 （1）
PM^2=PE^2-1^2=(m-3)^2+(n-2)^2-1
PN^2=PF^2-1^2=(m-3)^3+(n+4)^2-1
因为PM^2+PN^2=4^2
所以【(m-3)^2+(n-2)^2-1】+【(m-3)^2+(n+4)^2-1】=4^2,
2m^2-12m+18+2n^2+4n+2=0， m^2+n^2-6m+2n+1=0, (m-3)^2+(n+1)^2=9 （2）
这是一个以D（3，-1）为圆心（D是抛物线的顶点），3为半径的圆心，可见此圆与抛物线有交点，所以存在这样的点P
解(m-3)^2+(n+1)^2=9 与n=1/2(m-3)^2-1, 得m=3±√[(2√10)-2], n=√10-2
点P （3±√[(2√10)-2], √10-2 ）

Answer 2

A（1，0）B（5，0）C（0，7／2）D（3，－1)

追问

（2）（3）的答案呢？

（2）（3）的答案呢？