Question

已知函数f(x)＝－x 2 ＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m

已知函数f(x)＝－x 2 ＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

Answer 1

(1) [2e，＋∞)   (2) (－e 2 ＋2e＋1，＋∞)

解：(1)∵g(x)＝x＋ ≥2 ＝2e(x>0)， 当且仅当x＝ 时取等号． ∴当x＝e时，g(x)有最小值2e. 因此g(x)＝m有零点，只需m≥2e. ∴m∈[2e，＋∞)． (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根， 则函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点． 如图所示，作出函数g(x)＝x＋  (x>0)的大致图像． ∵f(x)＝－x 2 ＋2ex＋m－1 ＝－(x－e) 2 ＋m－1＋e 2 ， ∴其对称轴为x＝e，f(x) max ＝m－1＋e 2 . 若函数f(x)与g(x)的图像有两个交点， 必须有m－1＋e 2 >2e，即m>－e 2 ＋2e＋1. 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根， 则m的取值范围是(－e 2 ＋2e＋1，＋∞)．