Question

已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x

已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{cn}．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式，并写出数列{cn}的前4项；（Ⅱ）把集合?UA中的元素从小到大依次排列构成数列{dn}，求数列{dn}的通项公式，并说明理由；（Ⅲ）求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，则q³=8，∴q=2，∴b_n=2^n-1，…（2分）
∵数列{a_n}的前4项为1，4，7，10，数列{b_n}的前4项为1，2，4，8，
∴数列{c_n}的前4项为1，2，4，7；  …（3分）
（Ⅱ）根据集合B中元素2，8，32，128?A，猜测数列{d_n}的通项公式为d_n=2^2n-1．…（4分）
∵d_n=b_2n，∴只需证明数列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n?A（n∈N^*）．
证明如下：
∵b_2n+1-b_2n-1=2²ⁿ-2^2n-2=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，即b_2n+1=b_2n-1+3×4^n-1，
若?m∈N^*，使b_2n-1=3m-2，那么b_2n+1=3m-2+3×4^n-1=3（m+4^n-1）-2，
所以若b_2n-1∈A，则b_2n+1∈A．因为b₁∈A，重复使用上述结论，即得b_2n-1∈A（n∈N^*）．
同理，b_2n+2-b_2n=2²ⁿ⁺¹-2^2n-1=2×4ⁿ-2×4^n-1=3×2×4^n-1，即b_2n+2=b_2n+3×2×4^n-1，
因为“3×2×4^n-1”等于数列{a_n}的公差3的整数倍，由此说明b_2n 与b_2n+2（n∈N^*）同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b₂=2?A，即有b₄=2?A，重复使用上述结论，即得b_2n?A，
∴综上所述，可得数列{d_n}的通项公式为d_n=2^2n-1；  …（8分）
（Ⅲ）（1）当n=1时，所以因为b₁=a₁=1，所以S₁=1；           …（9分）
（2）当n≥2时，由（Ⅱ）知，数列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n?A，
则?k∈N^*，且k＜n，使得
Sn＝

n?k

i＝1

ai+

k

i＝1

b2i=

(n?k)(a1+an?k)

2

+

b2(1?4k)

1?4

＝

(n?k)(3n?3k?1)

2

+

2(4k?1)

3

．…（11分）
下面讨论正整数k与n的关系：
数列{c_n}中的第n项不外乎如下两种情况：
①b_2k=c_n或者②a_n-k=c_n，
若①成立，即有3（n-k）-2＜2^2k-1＜3（n-k+1）-2，
若②成立，即有2^2k-1＜3（n-k）-2＜2^2k+1，
∴

22k?1+3k?1

3

＜n＜

22k?1+3k+2

3

或者

22k?1+3k+2

3

＜n＜

22k+1+3k+2

3

，
显然

22k?1+3k+2

3

=[k+

2

3

×(22k?2+1)]?N^*，可得

22k?1+3k?1

3

＜n＜

22k+1+3k+2

3

．
综上所述，得S_n的表达式为
Sn＝

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