Question

设f（x）=x2-2|x|+3（-3≤x≤3）（1）证明f（x）是偶函数；（2）指出函数f（x）的单调增区间；（3）求函

设f（x）=x2-2|x|+3（-3≤x≤3）（1）证明f（x）是偶函数；（2）指出函数f（x）的单调增区间；（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）证明：（1）f（x）的定义域为{x|-3≤x≤3}，关于原点对称
又f（-x）=（-x）²-2|-x|+3=x²-2|x|+3=f（x），∴f（x）是偶函数；
（2）解：f(x)＝

x2+2x+3＝(x+1)2+2(?3≤x≤0) x2?2x+3＝(x?1)2+2(0＜x≤3)

作出函数的图象，如图
，
可知：f（x）的单调增区间为[-1，0]和[1，3]
（3）解：由（2）知，x=±1时，函数取得最小值；x=±3时，函数取得最大值
∴函数f（x）的值域为[2，6]．