Question

设函数f（x）=x2-2a|x|（a＞0）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；（2）

设函数f（x）=x2-2a|x|（a＞0）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；（2）若方程f（x）=-1有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，函数f（x）=x²-2a|x|（a＞0）的定义域D=R，对于任意的x∈D，恒有f（-x）=x²-2ax=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．（3分）
当x＞0时，函数f（x）=x²-2ax（a＞0）
且[a，+∞）?（0，+∞），所以此时函数f（x）的单调递增区间是[a，+∞）（3分）
（2）由（1）得函数f（x）是偶函数，所以我们只要求出x＞0时f（x）的最小值即可，当x＞0时，f（x）=（x-a）²-a²（2分）所以f（x）_min=-a²（2分）
只须-a²≤-1，即a≥1或a≤-（12分）
由于a＞0，所以a≥1时，方程f（x）=-1有解．（2分）