Question

已知：过点A（0，1）且方向向量为a＝(1，k)的直线l与⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N两点．（1）求实

已知：过点A（0，1）且方向向量为a＝(1，k)的直线l与⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N两点．（1）求实数k的取值范围；（2）求证：AM?AN=定值．

Answer 1

（1）可设直线l的方程为y=kx+1，与圆的方程：（x-2）²+（y-3）²=1它的圆心（2，3）半径是1．
直线与圆相切时有

|2k?3+1|

k2+1

＝1，解得 k=

4? 7

3

或k＝

4+ 7

3

所以，

4? 7

3

＜k＜

4+ 7

3

．
（2）点A（0，1）在圆外，直线l与⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两点，

AM

?

AN

=|AM||AN|cos0°=|AM||AN|，过A引一切线，切点为T，|有切割弦定理可知：|AM||AN|=|AT|²
是定值．