Question

如图所示，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作BC的平行线交AC于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

如图所示，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作BC的平行线交AC于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：（1）△DCF是直角三角形；（2）DE=EF．

Answer 1

证明：（1）∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，∠ACF=

1

2

∠ACM，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACM）=90°，
∴△DCF是直角三角形；

（2）∵DF∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠F=∠FCM，
∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，
∴∠ACD=∠BCD，∠ACF=∠FCM，
∴∠EDC=∠ACD，∠F=∠ACF，
∴ED=EC，EC=EF，
∴DE=EF．