Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC

如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．

Answer 1

解答：证明：在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°．
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=

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∠BAC，∠OCD=∠OCA=

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∠ACB，
在△OAC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-

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（∠BAC+∠ACB）=180°-

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×120°=120°．
∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°．
在AC上截取AF=AE，连接OF，如图，
在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF，
∴∠AOF=60°．
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°．
又∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF．
在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD=CF．
又∵AF=AE，
∴AC=AF+CF=AE+CD，
即AE+CD=AC．