Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．

Answer 1

（1）把点A（-1，0），点C（0，3）代入抛物线y=-x²+bx+c，得

0＝?1?b+c 3＝c

，解得

b＝2 c＝3

所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
令-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，得点B的坐标（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得

3＝b 0＝3k+b

，解得

k＝?1 b＝3

所以直线BC的解析式为y=-x+3．
（2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，
∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，
把y=3代入y=-x²+2x+3，得x=0或2，
∵PM⊥x轴，
∴点P的横坐标为m=2．
（3）∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，P的横坐标为m
∴M（m，-m²+2m+3），
∵直线BC的解析式为y=-x+3．
∴N（m，-m+3），
∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，
∴MN=OC=3，
∴-m²+2m+3-（-m+3）=3，化简得m²-3m+3=0，无解，
不存在m这样的值．