Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）求

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过点（0，3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

∵S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC
=

1

2

?（3+4）?1+

1

2

?2-4-

1

2

?3?3
=

7

2

+

8

2

-

9

2

=3
S_△ABC=

1

2

?AB?OC=

1

2

?4?3=6，
∴S_△BCM：S_△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：
①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形，
∴PQ平行且相等AC，
∴△PEQ≌△AOC，
∴EQ=OC=3，
∴-3=x²-2x-3，
解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），
∴Q（2，-3）．
②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP平行且相等AC，
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ=OC=3，
∴3=x²-2x-3，
解得 x=1+

7

或x=1-

7

，
∴Q（1+

7

，3）或（1-

7

，3）．
综上所述，Q点为（2，-3）或（1+

ERCHUHCHGYJ 2018-03-23 · TA获得超过391个赞 知道答主 回答量：92 采纳率：40% 帮助的人：8.9万 我也去答题访问个人页 关注 【题目】 如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(−4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2)，动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒。 (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式。  【解析】 （1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论； （2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4-4t，由于直线AC的解析式为：y= 1 2 x+2，得到E（2t-4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论； （3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【解答】 （1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）代入y=ax2+bx+c得， 16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2 ， ∴ a=- 1 2 b=- 3 2 c=2 ， ∴抛物线的解析式为：y=- 1 2 x2- 3 2 bx+2， 对称轴为：直线x=- 3 2 ； （2）存在， ∵AD=2t， ∴DF=AD=2t， ∴OF=4-4t， ∴D（2t-4，0）， ∵直线AC的解析式为：y= 1 2 x+2， ∴E（2t-4，t）， ∵△EFC为直角三角形， ①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴ DE OF = DF OC ，即 t 4-4t = 2t 2 ， 解得：t= 3 4 ， ②当∠FEC=90°， ∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE= 1 2 AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去）， ③当∠ACF=90°， 则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t-4）2]=（4t）2， 解得：t= 5 4 ， ∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 3 4 或 5 4 ； （3）∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=-2x+2， 当D在y轴的左侧时，S= 1 2 （DE+OC）•OD= 1 2 （t+2）•（4-2t）=-t2+4 （0<t<2）， 当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD=4t-4，DE=-8t+10， S= 1 2 （DE+OC）•OD= 1 2 （-8t+10+2）•（4t-4）=-16t2+40t-24 （2<t< 5 2 ）． 收起 1条折叠回答 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2016-12-01 如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． 26 2012-05-23 如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． 15 2016-12-01 如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、B 20 2017-12-16 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另 142 2012-11-26 如图，已知抛物线y=1 2 x2+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点． （1）求此抛物线的 4 2015-01-26 如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1） 2 2014-07-10 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点.（1）求此抛物线的解析式； 3 2012-01-03 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点． 急急急急~在线等。 3 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

【题目】
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(−4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2)，动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒。
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式。

【解析】
（1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；
（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4-4t，由于直线AC的解析式为：y=
1
2
x+2，得到E（2t-4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；
（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】
（1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）代入y=ax2+bx+c得，
16a-4b+c=0
a+b+c=0
c=2
，
∴
a=-
1
2
b=-
3
2
c=2
，
∴抛物线的解析式为：y=-
1
2
x2-
3
2
bx+2，
对称轴为：直线x=-
3
2
；
（2）存在，
∵AD=2t，
∴DF=AD=2t，
∴OF=4-4t，
∴D（2t-4，0），
∵直线AC的解析式为：y=
1
2
x+2，
∴E（2t-4，t），
∵△EFC为直角三角形，
①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，
∴
DE
OF
=
DF
OC
，即
t
4-4t
=
2t
2
，
解得：t=
3
4
，
②当∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴DE=
1
2
AF，即t=2t，
∴t=0，（舍去），
③当∠ACF=90°，
则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t-4）2]=（4t）2，
解得：t=
5
4
，
∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=
3
4
或
5
4
；
（3）∵B（1，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为：y=-2x+2，
当D在y轴的左侧时，S=
1
2
（DE+OC）•OD=
1
2
（t+2）•（4-2t）=-t2+4 （0<t<2），
当D在y轴的右侧时，如图2，
∵OD=4t-4，DE=-8t+10，
S=
1
2
（DE+OC）•OD=
1
2
（-8t+10+2）•（4t-4）=-16t2+40t-24 （2<t<
5
2
）．