Question

离散数学 证明:[0,1]是不可数的

Answer 1

离散数学中证明[0,1]是不可数的可以做映射，把无理数还是映到自己。
然后把(0,1)上的有理数以某种规律排出来设为r1,r2,r3...
然后把0→r1,1→r2,r1→r3,r2→r4 r(n)→r(n+2)

康托尔在1874年和1891年分别用两种不同的方法，证明了实数集是不可数集。其中1891年所用的方法更加为人所熟知，又被称为对角线法。证明发表之后，这种方法在数理逻辑中获得广泛应用。

对角线法证明实数集不可数的大致思路如下：显然实数集不是有限集。反设实数集和自然数集之间存在一个双射，设自然数0对应的实数是a0，1对应实数a1，2对应a2，……i对应ai。注意任意实数可以唯一地表示为不以无限多个9结尾的十进制小数，可设aij为ai小数点后的第j+1位。

现在确定一个实数x，并说明它不能和任何自然数对应。x的整数部分是0；设xj为x小数点后的第j+1位，令xj=0，当aij≠0；xj=1，当aij=0。x的表示形式是一个不以无限多个9结尾的十进制小数，但是它不等于任何一个ai，因为由定义，x小数点后的第i+1位xi不等于aii。因此“实数集和自然数集之间存在一个双射”的假设不成立，所以实数集是不可数集。

Answer 2

书上不是有个经典证明吗
假设可数，
0.A11 A12 A13 A14...
0.A21 A22 A23 A24...
...
0.An1 An2 An3 An4...
作0.Ax1 Ax2 Ax3...，Ax1不等于A11，Ax2不等于A22，Ax3不等于A33。。。
则0.Ax1 Ax2 Ax3。。。不可数，即(0,1)间实数不可数