Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC中点，连ED．（1）求证：ED是⊙O的切线；

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC中点，连ED．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，ED=4，求AB长？

Answer 1

（1）证明： 方法一：连接OD，OE，CD， ∵∠ADC=90°， ∴∠CDB=90°， ∵E是BC的中点， ∴DE=CE， ∴∠EDC=∠ECD， ∵OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°， 即OD⊥ED， ∴ED与⊙O相切． 方法二：连接OE，OD， ∵E是BC的中点，∠BDC=90°， ∴DE=CE， 又∵OD=OC，OE=OE， ∴△ODE≌△OCE， ∴∠ODE=∠OCE=90°， 即OD⊥ED， ∵D在⊙O上， ∴ED与⊙O相切． （2）∵⊙O半径为3，即OC=3，ED=4， ∴CE=ED=4， ∴OE= CE 2 + OC 2 =5， ∵E为BC中点，OC=OA， ∴OE为△ACB的中位线， ∴OE= 1 2 AB， ∴AB=10． 答：AB长为10．