Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上． (1)求抛物线C的标准方

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上． (1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m，0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．

Answer 1

（1）y 2 ＝2x（2）x＋y－ ＝0（3） (m>0)

(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y 2 ＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p＝1.因此抛物线C的标准方程为y 2 ＝2x. (2)由(1)可得焦点F的坐标是 ，又直线OA的斜率为 ＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x＋y－ ＝0. (3)(解法1)设点D和E的坐标分别为(x 1 ，y 1 )和(x 2 ，y 2 )，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0. 将x＝ ＋m代入y 2 ＝2x，有ky 2 －2y－2km＝0，解得y 1 ， 2 ＝ . 由ME＝2DM知1＋ ＝2( －1)，化简得k 2 ＝ . 因此DE 2 ＝(x 1 －x 2 ) 2 ＋(y 1 －y 2 ) 2 ＝ (y 1 －y 2 ) 2 ＝ (m 2 ＋4m)，所以f(m)＝  (m>0)． (解法2)设D ，E . 由点M(m，0)及 ＝2 ，得 t 2 －m＝2 ，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s 2 .所以f(m)＝DE＝  (m>0)．