Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（2）=0，且方程f（x）=x有相等的实根，（1）求f（x）的解析式；（2）若

已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（2）=0，且方程f（x）=x有相等的实根，（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≤t2+ct+1对一切t∈R，x∈R恒成立，求实数C的取值范围；（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由f（2）=0可知，4a+2b=0，
又∵f（x）=x有两个相等实根，
可得（b-1）²-4ac=0，解之得a=-

1

2

，b=1，
故f（x）的解析式为：f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
∴不等式f（x）≤t²+ct+1对一切t∈R、x∈R恒成立，可得

1

2

≤t²+ct+1对一切t∈R恒成立，
即t²+ct+

1

2

≥0对任意t∈R恒成立．
因此，△=c²-2≤0，解之得-

2

≤c≤

2

；
（3）假设存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，
由（1）可知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，故4n≤

1

2

，故m＜n≤

1

8

，
又∵函数f（x）图象的对称轴为x=1，
∴f（x）在区间[m，n]上单调递增，可得f（m）=4m，f（n）=4n，
解得m=0或m=-6，n=0或n=-6．再由m＜n，可得m=-6，n=0．
综上所述，得存在m=-6，n=0，使得使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]．