Question

（2009?宝坻区二模）如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．（Ⅰ）求证：△MAC是等腰三角形

（2009?宝坻区二模）如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．（Ⅰ）求证：△MAC是等腰三角形；（Ⅱ）若AC为⊙O的直径，AM=5，AB=855，求AC的长．

Answer 1

（1）∵AD=BC，
∴∠BAC=∠ACD，
在△ADC与△CBA中，
∠ADC=∠ABC，AD=BC，∠BAC=∠ACD，
∴△ADC≌△CBA，
∴AB=CD，
在△ADM与△CBM中，
∠DAM=∠BCM，AD=BC，∠ADC=∠ABC，
∴△ADM≌△CBM，
∴DM=BM，
∴AM=CM，
∴△MAC是等腰三角形；

（2）连接OM，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵△ACM是等腰三角形，O为AC的中点，
∴OM⊥AC，即∠AOM=90°，
在△AOM与△ABC中，
∠ABC=∠AOM=90°，∠BAC=∠BAC，
∴△AOM∽△ABC，
∴

OA

AB

=

AM

AC

，即

OA

8 5 5

=

5

AC

，解得AC=4．