Question

已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值

已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/9213b07eca80653895e85da294dda144ad348205?x-bce-process=image/quality,q_85 顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形． 即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF． BM=BF?cos30°=BC?cos30°= 3 2 ， 则AM=1+ 3 2 = 2+ 3 2 ， ∵AB=BF，∠ABF=150° ∴∠BAF=15° 既得AF= AM cos15° = 6 + 2 2 ．

Answer 2

定理：当三角形三内角均小于120度时，P点满足PA
,PB,
PC
各成120度时，PA＋PB＋PC有最小值。此时明显P点应为正三角形内心，PA＋PB＋PC＝根号3。
下面是有关定理的证明，参考一下：
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.
(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点，分别以
AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
对于任意三角形△ABC，若三角形内某一点P令PA
+
PB
+
PC三线段有最小值的一点，P为费马点。
作法
*
当三角形的内角都小于120度时
o
向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'
o
连接CC'、BB'、AA'
*
当有一个内角不小于120度时，费马点为此角对应顶点。
费马点的另外一种解法
:
在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的
符合条件的三角形（任意顶角小于120度）
在三个顶点和费马点处打洞（无限小，壁光滑）
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体，穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起。（结当然也是理想的啦，无限小）
松手让整个系统自由运动。那么，绳结一定会落在
费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）
然后，由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡，（三个物体质量一样）
所以三根绳子之间的夹角均为120度。
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小