Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是______．

Answer 1

设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE． 设圆的半径是x．在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC=6． 又PC=8-2=6，则BC=PC， 所以∠BPC=45°， ∴PD=OD=x，AD=x+2， 根据切线长定理得AE=x+2，BE=10-（2+x）=8-x，OB=BP-OP=6 2 - 2 x； 在直角三角形OBE中，根据勾股定理得： （6 2 - 2 x） 2 =x 2 +（8-x） 2 ， ∴x=1，即⊙O的半径是1．