Question

已知有限集A={a1，a2，a3…，an}（n≥2）．如果A中元素ai（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…an=a1+a2+…+an

已知有限集A={a1，a2，a3…，an}（n≥2）．如果A中元素ai（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…an=a1+a2+…+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{?1+52，?1?52}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若ai∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是______．（填上你认为所有正确的结论序号）

Answer 1

∵

?1+ 5

2

?

?1? 5

2

=

?1+ 5

2

+

?1? 5

2

=-1，故①是正确的；
②不妨设a₁+a₂=a₁a₂=t，
则由韦达定理知a₁，a₂是一元二次方程x²-tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
③不妨设A中a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，
由a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n＜na_n，得a₁a₂…a_n-1＜n，当n=2时，
即有a₁＜2，
∴a₁=1，于是1+a₂=a₂，a₂无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．
当n=3时，a₁a₂＜3，故只能a₁=1，a₂=2，求得a₃=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a₁a₂…a_n-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n²-3n+2=（n-2）²-2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
故答案为：①③④