Question

设A为有限集合，且|A|=n,则A上的二元运算有多少个？

其中又有多少个运算是可交换的？有多少个运算具有单位元？

Answer 1

一个二元运算其实就是 A * A 到 A 的映射, 故有 n^{n^2} 个二元运算.

可交换对应于关于对角线对称的对儿上取相同的值, 故有 n^{1+2+...+n} 个

有单位元对应于有一行有一列取定值(1a=a, a是定值), 故有 n^{n^2-2n+1} 个

追问

那么又有多少个运算是可交换的？有多少个运算具有单位元？

追答

1+2+...+n 表示数对角线以上有多少个元，包括对角线，因为这些是自由的。

2n-1 是因为这一行一列有一个公共点，算了两次，应该减掉多算的一次，其他才是自由的。