Question

已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任

已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+12+13+…+1n＞ln（n+1）（n∈N*）

Answer 1

解答：（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna．
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
则f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，
其最小值为f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1；
（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由（1），设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
则g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，故a=1；
（3）证明：由（2）可知：当x＞0时，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1），
则1＞ln2，

1

2

＞ln(1+

1

2

)，

1

3

＞ln（1+

1

3

），…，

1

n

＞ln（1+

1

n

），
故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（2×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

）=ln（n+1），
则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）成立．