Question

已知函数f（x）=ex-ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，

已知函数f（x）=ex-ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，求a的值；（2）若对任意x∈[0，π2]，不等式f（x）≥ex（1-sinx）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-ax，∴f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna为函数的极小值点，
由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；
（2）不等式f（x）≥e^x（1-sinx），即e^xsinx-ax≥0，
设g（x）=e^xsinx-ax，则g′（x）=e^x（sinx+cosx）-a，g″（x）=2e^xcosx，
x∈[0，

π

2

]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0，

π

2

]时为增函数，∴g′（x）=g′（0）=1-a．
①1-a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，

π

2

]时为增函数，∴g（x）_min=g（0）=0，此时g（x）≥0恒成立；
②1-a＜0，即a＞1时，存在x₀∈[0，

π

2

]，使得g′（x₀）＜0，从而x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x₀]上是减函数，
∴x∈（0，x₀）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 2

（1）∵f（x）=ex-ax，∴f′（x）=ex-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna为函数的极小值点，
由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；
（2）不等式f（x）≥ex（1-sinx），即exsinx-ax≥0，
设g（x）=exsinx-ax，则g′（x）=ex（sinx+cosx）-a，
g″（x）=2excosx，
x∈[0，π / 2 ]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0，π /2 ]时为增函数，
∴g′（x）=g′（0）=1-a．
①1-a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，π /2 ]时为增函数，
∴g（x）min=g（0）=0，此时g（x）≥0恒成立；
②1-a＜0，即a＞1时，存在x0∈[0，π /2 ]，使得g′（x0）＜0，从而x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x0]上是减函数，
∴x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．