已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数f(x)
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)取最大值时实数a的值;(...
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)取最大值时实数a的值;(3)在(2)的条件下,证明:(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n<ee-1(其中n∈N*).
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(1)解:由题意a>0,f′(x)=ex-a,
由f′(x)=ex-a=0,得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).
(2)解:由(1)知,当x=lna时,f(x)取得极小值,也为最小值,
其最小值为g(a)=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.
由g′(a)=1-lna-1=-lna=0,得a=1.
∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.
因此g(a)取得最大值时,a=1.
(3)证明:由(2)知,当a=1时,对任意实数x均有f(x)≥g(1)=0,即ex-x-1≥0,即1+x≤ex.
令x=-
(n∈N*,k=0,1,2,3,…,n-1),则0<1-
≤e-
,
∴(1-
)n≤(e-
)n=e-k,
∴(
)n+(
)n+…+(
)n+(
)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
<
=
.
由f′(x)=ex-a=0,得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).
(2)解:由(1)知,当x=lna时,f(x)取得极小值,也为最小值,
其最小值为g(a)=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.
由g′(a)=1-lna-1=-lna=0,得a=1.
∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.
因此g(a)取得最大值时,a=1.
(3)证明:由(2)知,当a=1时,对任意实数x均有f(x)≥g(1)=0,即ex-x-1≥0,即1+x≤ex.
令x=-
k |
n |
k |
n |
k |
n |
∴(1-
k |
n |
k |
n |
∴(
1 |
n |
2 |
n |
n-1 |
n |
n |
n |
1-e-n |
1-e-1 |
1 |
1-e-1 |
e |
e-1 |
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