Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，

如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．（1）若BC=22，求△BDE的周长；（2）求证：NE-ME=CM．

Answer 1

解答：（1）解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴在帆颤Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB=45°，
∵BC=2

2

，
∴BD=CD=2

2

×

2

2

=2，
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE=

1

2

CD=

1

2

×2=1，
∴BE=

BD2+DE2

=

22+12

=

5

，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=2+1+

5

=3+

5

；

（2）证明：∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABN+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠ABN=∠ACD，
∵CD⊥AB，ND⊥MD，
∴∠BDN+∠CDN=∠CDM+∠CDN=90°，
∴∠BDN=∠CDM，
在△BDN和雹悉△CDM中，

∠ABN＝∠ACD BD＝CD ∠BDN＝∠CDM

，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN=DM，
∴△DMN是等腰直角三角形，态肆败
过点D作DF⊥BE于F，则DF=NF，
∵BM⊥AC于点M，
∴∠DFE=∠CME=90°，
在△DEF和△CEM中，

∠DFE＝∠CME ∠DEF＝∠CEM DE＝CE

，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴DF=CM，EF=ME，
∴NE-ME=NE-EF=NF=DF=CM，
即NE-ME=CM．

Answer 2

3.14159265358