Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠DAE=60°，点E，F分别在CD，AE的延长线上，且AE=AD，CF=CB

求证：△ACEF是平行四边形
用两种方法证明

Answer 1

证明：
1，因为：AE=AD（已知）
所以：∠ADE=∠AED（三角形等边对等角）
因为：∠DAE=60°（已知）
所以：∠ADE=∠AED=60°（三角形内角和等于180度）
所以：⊿AED是等边三角形（每个内角为60度的三角形是等边三角形）
所以：DE=AD（等边三角形的三边相等）
2，因为：ABCD是平行四边形（已知）
所以：AD∥BC，CE∥AF（平行四边形的对边平行）
所以：∠CBF=∠BCE=∠ADE=60°（平行线的内错角相等，同位角相等）
因为：CF=CB（已知）
所以：∠CFB=∠CBF=60°（三角形等边对等角）
所以：∠BCF=60°（三角形内角和等于180度）
所以：⊿BCF是等边三角形（每个内角为60度的三角形是等边三角形）
所以：BF=BC（等边三角形的三边相等）
3，因为：AD=BC（平行四边形对边相等）
所以：DE=BF（等量公理）
因为：DC=AB（平行四边形对边相等）
所以：CE=AF（等量公理）
所以：AFCE是平行四边形（对边平行，且相等的四边形是平行四边形）

Answer 2

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，
∴∠ADE=∠CBF=60°，
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形在ABCD中，AD=BC，DC∥=AB，
∴ED=BF，
∴ED+DC=BF+AB
即EC=AF，
又∵DC∥AB，
即EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形；

Answer 3

∵平行四边形ABCD，∠DAE=60°AE=AD∴AB∥CD,AD∥BC∴∠EDA=∠EAD=∠DAB=∠DBF=60°,∴△EFA是等边三角形∴EA=ED=AD=BC，∠CBF=60，∠DAB=60，∴∠EAF=120∵CF=CB∴△CBF是等边三角形∴∠CFB=60∴AE=FC且平行∴四边形EAFC是平行四边形