Question

阅读理解题：已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E

阅读理解题：已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD=PE+PF．在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图1），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．小颖的思路方法是：连接PA（如图2），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．阅读上面的材料，然后解答下面的问题：（1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整（2）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论求EM+EN的值．

Answer 1

（1）证明：小明的思路方法：
过点P作PG⊥CD于G（如图1），
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∴四边形PEDG是矩形，
∴PE=DG
∵△ABC中，AB=AC，
∴△PCG≌△CPF，
∴PF=CG，
∴CD=PE+PF．

（2）设AC、BD交于O，
∵梯形ABCD中，AB=CD
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴∠DCB=∠ABC=60°
∵AD∥BC
∴∠ADC=180-∠BCD=120°，∠ADB=∠DBC
∵AD=AB
∴∠ABD=∠ADB
∴∠DBC=∠ABD=∠ADB=30°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=90°
同理可得：∠ACB=30°
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
由结论可得：EM+EN=CD=2．