已知函数f（x）=x（x-a）2，a是大于零的常数．（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[1
已知函数f（x）=x（x-a）2，a是大于零的常数．（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）证...
已知函数f（x）=x（x-a）2，a是大于零的常数．（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）证明：曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线y=f（x）上总有两点M、N且MP=PN成立，并写出点P的坐标．
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（1）f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x，则f′（x）=3x2-4ax+a2，
当a=1时，f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=
或1，f（x）在区间（0，
），（
，1），（1，+∞）上分别单调递增，单调递减，单调递增，
于是当x=
时，有极大值f（
）=
；
当x=1时有极小值f（1）=0．
（Ⅱ）f'（x）=3x2-4ax+a2，若函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增，
则f′（x）=3x2-4ax+a2≥0在x∈[1，2]上恒成立，
当0＜
＜1时，即a＜
时，由f′（1）=3-4a+a2≥0得0＜a≤1；
当1≤
≤2，即
≤a≤3时，f′（
）=-
≥0，无解；
当
＞2，即a＞3时，由 f′（2）=12-8a+a2≥0得a≥6．
综上，当函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增时，0＜a≤1或a≥6．
（Ⅲ）f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x，f′（x）=3x2-4ax+a2，
令f'（x）=0，得x1＝
，x2=a，
f（x）在区间（-∞，
），（
，a），（a，+∞）上分别单调递增，单调递减，单调递增，
于是当x=
时，有极大值f(
)＝
；
当x=a时，有极小值f（a）=0．
记A（
，
），B（a，0），AB的中点P（
，
），
设M（x，y）是图象任意一点，由
当a=1时，f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
于是当x=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
当x=1时有极小值f（1）=0．
（Ⅱ）f'（x）=3x2-4ax+a2，若函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增，
则f′（x）=3x2-4ax+a2≥0在x∈[1，2]上恒成立，
当0＜
| 2a |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
当1≤
| 2a |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 2a |
| 3 |
| a2 |
| 3 |
当
| 2a |
| 3 |
综上，当函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增时，0＜a≤1或a≥6．
（Ⅲ）f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x，f′（x）=3x2-4ax+a2，
令f'（x）=0，得x1＝
| a |
| 3 |
f（x）在区间（-∞，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
于是当x=
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| 4a3 |
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当x=a时，有极小值f（a）=0．
记A（
| a |
| 3 |
| 4a3 |
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| 2a |
| 3 |
| 2a3 |
| 27 |
设M（x，y）是图象任意一点，由
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