Question

已知函数 f（x）=12x2-（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x-y+2=0平

已知函数 f（x）=12x2-（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x-y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=x-（3a+1）+

2a(2a+1)

x

-------------------------------1分
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=1-（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a²-a-3=0．------------------------2分
解得a=

3

2

或a=-1（不符合题意，舍去），∴a=

3

2

．------------------------4分
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-（3a+1）+

2a(2a+1)

x

-------------------------5分
①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，
当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．------------------7分
②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，---------------------------8分
③当a＞1时，2a＞a+1，
∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．------------------10分
（Ⅲ）当a=

3

2

时，f（x）=

x2

2

-

11x

2

+

15

2

lnx，
由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，

5

2

）上单调递增，在（

5

2

，3）上单调递减，
因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．----------------------------------11分
∵f（1）=-5，f（e）=

e2

2

-

11e

2

+

15

2

，
∴f（e）-f（1）=

e2?11e+25

2

．
设g（x）=x²-11x+25，则g（x）在（-∞，

11

2

）上单调递减，且e＜3＜

11

2

，
∴g（e）＞g（3），故f（e）-f（1）＞0．
∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=-5．----------------------------13分
若要满足对对?x∈[1，e]，f（x）≥k²+6k恒成立，只需f（x）_min≥k²+6k恒成立，
即求-5≥k²+6k恒成立，即k²+6k+5≤0，解得-5≤k≤-1．
∴实数k的取值范围是[-5，-1]．---------------------------------------14分