Question

如图，已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x 2 +4（c+2）=

如图，已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x 2 +4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D是以C为圆心，CB为半径的圆与AB的交点。（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）若 ，求AB的长；（3）在（2）的条件下求AD长。

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Answer 1

解：（1）依题意，得a+b=c+4，ab=4（c+2） ∴a 2 +b 2 =（a+b） 2 -2ab=（c+4） 2 -2×4（c+2）=c 2 +8c+16-8c-16=c 2 ∴△ABC是直角三角形； （2）设a=3k，b=4k，从而c=5k（k>0），代入a+b=c+4，得k=2， ∴a=6，b=8，c=10； （3）过C做CE⊥AB于E， 则CE= ，   由垂径定理，得BD=2BE= 故AD=10-BD=10-7.2=2.8。