Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象相邻的两条对称轴之间的距离

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，其中的一个对称中心是（π3，0）且函数的一个最小值为-2．（1）求函数f（x）的解析式，并求当x∈[0，π6]时f（x）的值域；（2）若函数f（x）在区间（π12，b）上有唯一的零点，求实数b的最大值．

Answer 1

（1）∵最小值为-2，
∴A=2．
∵相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
∴

T

2

=

π

2

，即T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
∵点(

π

3

，0)在图象上
∴2sin(2×

π

3

+?)=0，
即sin(

2π

3

+?)=0，
∴

2π

3

+?＝kπ（k∈Z），
∴φ=kπ-

2π

3

（k∈Z）．
又?∈(0，

π

2

)，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin(2x+

π

3

)；    
∵x∈[0，

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
当2x+

π

3

＝

π

3

，即x=0时，f（x）取得最大值0，
当2x+

π

3

＝

7π

12

，即x＝

π

8

时，f（x）取得最小值-2，
故f（x）的值域为[-2，0]．                        
（2）当x=

π

12

时，f（

π

12

）=2sin（

π

6

+

π

3

）=2，
由函数f（x）在一个周期内的图象可知，f（x）要在区间(

π

12

，b)上有唯一零点，b最大可取

5π

6

．
∴b的最大值为

5π

6

．