Question

如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B

如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求m的值；（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的23？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴经过点A的反比例函数解析式为：y=

9 x

，
而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），
∴m=

9

6

=

3

2

；

（2）∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，

3

2

），
与x轴、y轴分别交于C、D两点，
而这些OA的解析式为y=x，
设直线CD的解析式为y=x+b，
代入B的坐标得：

3

2

=6+b，
∴b=-4.5，
∴直线OC的解析式为y=x-4.5，
∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，-4.5），
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
分别把A、B、D的坐标代入其中得：

3＝9a+3b+c 1.5＝36a+6b+c ?4.5＝c

，
解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5
∴y=-0.5x²+4x-4.5；

（3）如图，设E的横坐标为x，
∴其纵坐标为-0.5x²+4x-4.5，
∴S₁=

1

2

（-0.5x²+4x-4.5+OD）×OC，
=

1

2

（-0.5x²+4x-4.5+4.5）×4.5，
=

1

2

（-0.5x²+4x）×4.5，
而S=

1

2

（3+OD）×OC=

1

2

（3+4.5）×4.5=

135

8

，
∴

1

2

（-0.5x²+4x）×4.5=

2

3

×

135

8

，
解之得x=4±

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