Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，满足∠EAF=45°，若AB=72，BE=3，求EF和CF

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，满足∠EAF=45°，若AB=72，BE=3，求EF和CF的长．

Answer 1

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，
连FG，如图，
∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，
∴FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；
又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°=45°，
在△AGF和△AEF中

AE＝AG ∠EAF＝∠FAG AF＝AF

∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF²=BE²+FC²，
∵AB=

72

，BE=3，AB=AC，
∴BC=

72+72

=12，
∴EC=9，设FC=x，则EF=9-x，
∴（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，则EF=5，
即EF的长为5，CF的长为4．