已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数x1，
已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=0，f（x2）=0，求...
已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=0，f（x2）=0，求证x1x2＞e2．
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解（Ⅰ）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-a＞0，f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，
∴f（1）?f（ea）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．
③若a＞0，令f′（x）=0得：x=
．
在区间（0，
）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间（
，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（
）=ln
-1=-lna-1．
由于f（x）无零点，须使f（
）=ln
-1=-lna-1，解得：a＞
．
故所求实数a的取值范围是（
，+∞）．
（Ⅱ）设x1＞x2＞0，
∵f（x1）=0，f（x2）=0，
∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，
∴lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）
原不等式x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2?a（x1+x2）＞2，
?
＞
?ln
＞
，
令
=t，则t＞1，
∴ln
＞
?lnt＞
，
设g（t）=lnt-
∵f（1）=-a＞0，f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，
∴f（1）?f（ea）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．
③若a＞0，令f′（x）=0得：x=
| 1 |
| a |
在区间（0，
| 1 |
| a |
在区间（
| 1 |
| a |
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
由于f（x）无零点，须使f（
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
故所求实数a的取值范围是（
| 1 |
| e |
（Ⅱ）设x1＞x2＞0，
∵f（x1）=0，f（x2）=0，
∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，
∴lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）
原不等式x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2?a（x1+x2）＞2，
?
| lnx1?lnx2 |
| x1?x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1 |
| x2 |
| 2(x1?x2) |
| x1+x2 |
令
| x1 |
| x2 |
∴ln
| x1 |
| x2 |
| 2(x1?x2) |
| x1+x2 |
| 2(t?1) |
| t+1 |
设g（t）=lnt-
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