Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数x1，

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=0，f（x2）=0，求证x1x2＞e2．

Answer 1

解（Ⅰ）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-a＞0，f（e^a）=a-ae^a=a（1-e^a）＜0，
∴f（1）?f（e^a）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．
③若a＞0，令f′（x）=0得：x=

1

a

．
在区间（0，

1

a

）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间（

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1．
由于f（x）无零点，须使f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1，解得：a＞

1

e

．
故所求实数a的取值范围是（

1

e

，+∞）．
（Ⅱ）设x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁?x₂＞e²等价于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2，
?

lnx1?lnx2

x1?x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1?x2)

x1+x2

，
令

x1

x2

=t，则t＞1，
∴ln

x1

x2

＞

2(x1?x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t?1)

t+1

，
设g（t）=lnt-

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