(2013?泸州)如图,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且

(2013?泸州)如图,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:(... (2013?泸州)如图,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:(1)图形中全等的三角形只有两对;(2)△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;(3)CD+CE=2OA;(4)AD2+BE2=2OP?OC.其中正确的结论有(  )A.1个B.2个C.3个D.4个 展开
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结论(1)错误.理由如下:
图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.
等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.
∵OC⊥AB,OD⊥OE,∴∠AOD=∠COE.
在△AOD与△COE中,
∠OAD=∠OCE=45°
OA=OC
∠AOD=∠COE

∴△AOD≌△COE(ASA).
同理可证:△COD≌△BOE.
结论(2)正确.理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴S△AOD=S△COE
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=
1
2
S△ABC
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.
结论(3)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴CE=AD,
∴CD+CE=CD+AD=AC=
2
OA.
结论(4)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴AD=CE;∵△COD≌△BOE,∴BE=CD.
在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,∴AD2+BE2=DE2
∵△AOD≌△COE,∴OD=OE,
又∵OD⊥OE,∴△DOE为等腰直角三角形,∴DE2=2OE2,∠DEO=45°.
∵∠DEO=∠OCE=45°,∠COE=∠COE,
∴△OEP∽△OCE,
OE
OC
OP
OE
,即OP?OC=OE2
∴DE2=2OE2=2OP?OC,
∴AD2+BE2=2OP?OC.
综上所述,正确的结论有3个,
故选C.
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