Question

在三角形ABC中,若a+c=4根号3,则三角形ABC面积的最大值是

快点快点！！！！

Answer 1

解：
S⊿ABC=½ac·sinB
B为三角形内角，0<sinB≤1，当且仅当B=π/2时，sinB有最大值(sinB)max=1
由均值不等式得ac≤¼(a+c)²=¼·(4√3)²=12，当且仅当a=c=2√3时取等号。
sinB、ac同时取得最大值时，三角形是以B为直角，两直角边长均为2√3的等腰直角三角形。
此时，
S⊿ABC有最大值(S⊿ABC)max=½·12·1=6
三角形ABC面积的最大值是6。

说明：
1、本题考察了三角函数的取值范围、均值不等式、三角形面积公式，是一道质量较高的综合题。
2、对于sinB、ac同时取得最大值时，要予以说明，以确定此时三角形存在。

Answer 2

均值不等式： (a+c)/2≥√ac
a+c=4√3
正弦定理： S=1/2(ac*sinB)
S=1/2(ac*sinB)≤1/2[(a+c)^2/4*sinB]=1/2*(12sinB)，当且仅当a=c时不等式取等号，为使三角形面积最大，sinB=1
所以三角形ABC面积的最大值是6