Question

关于复变函数的积分定义，想问问到底是什么意义

比如说我们普通的积分可以看成是x-y平面的面积的和，那么复变函数的积分有什么意义，是z平面积分的和？那么z平面到底是指实轴虚轴平面还是说z-f（z）平面
求速度解答啊，50分不够么- -

Answer 1

复变函数通常作曲线积分，因此下面讨论的也是曲线积分

(1)这是形式上的变换

上式的第二行末尾可以看出，积分结果的实部和虚部都是关于函数实部和虚部的第二型曲线积分，如果有曲线C的参数方程

那么上式就可以化为定积分

当然要求x(t)和y(t)满足一阶可导

另外当然第二型曲线积分可以化为第一形曲线积分，这一点不作深入讨论

 

如果要问积分的意义是什么，关于第二型曲线积分，就可以理解为变力对做曲线运动的物体所做的功

把第二型曲线积分化为定积分，就是用变力乘上路径导数得到功率，再由功率对时间积分，得到变力所做的功

实变函数的积分是这样，复变函数的积分也可以这样理解

 

(2)

这里△zk可以看作曲线C的一个小段，那么f(zk)是该段曲线上一点的“复线密度”，因此积分的结果可以看作整段曲线的“复质量”

(3)如果积分是平面积分或者多重积分，那么通常是关于实变量的积分，这时就可以看作实部虚部分别积分即可