Question

高中数学导数题

4．已知函数f(x)=x^3-x^2+ax+b.
（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，且函数f(x)只有一个零点，求b的取值范围.
（2）若函数f(x)在区间(-2,2)上不是单调函数，求a的取值范围.
悬赏50

Answer 1

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Answer 2

（1）f'(x)=3x^2-2x+a

f'(1)=0，得3-2+a=0，得a=-1

所以f'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)

令f'(x)=0，得x=1，或x=-1/3

所以x=1和x=-1/3为函数的两个极值点。且x=-1/3为极大值点，x=1为极小值点。

要使函数只有一个零点，则只需要f(-1/3)<0，或f(1)>0即可

解得：b<-5/27，或b>1

（2）令f'(x)=3x^2-2x+a

若函数f(x)在（－2，2）上不是单调函数，则

f'(x)=0有两不同的实根，且至少有一根在(-2,2)内，即保证有两个极值点，且至少一个极值点在(-2,2)内即可。

因此△>0，且-2<(2+√△)/6<2，或-2<(2－√△)/6<2

解得a<1/3,且 （  a>-8或a>-16 ）

因此－16<a<1/3

Answer 3

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

定义：

公式：