Question

一阶导等于零，二阶导等于零，三阶导不等于零那么这个点是极值点吗（求详细证明）

Answer 1

不是极值点。可用泰勒展开来证明。

在x0处展开为：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)²/2!+f"'(x0)(x-x0)³/3!+.....

  因为f'(x0)=f"(x0)=0, 故得：

f(x)-f(x0)=f"'(x0)(x-x0)³/3!+......

考虑x在x0处左右邻域，f(x)-f(x0)的符号：

不妨设f"'(x0)>0, 则在x0左邻域，f"'(x0)(x-x0)³/3!<0; 在右邻域，f"'(x0)(x-x0)³/3!>0, 因此在

在x0左右邻域，f(x)-f(x0)的符号由负变正，故x0不是极值点。

同样若f"'(x0)<0, 也同样得x0不是极值点。

另外，若三阶导等于0，但四阶导不等于0，则x0是极值点。

Answer 2

不是极值点。可用泰勒展开来证明。
在x0处展开为：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)²/2!+f"'(x0)(x-x0)³/3!+.....
因为f'(x0)=f"(x0)=0, 故得：
f(x)-f(x0)=f"'(x0)(x-x0)³/3!+......
考虑x在x0处左右邻域，f(x)-f(x0)的符号：
不妨设f"'(x0)>0, 则在x0左邻域，f"'(x0)(x-x0)³/3!<0; 在右邻域，f"'(x0)(x-x0)³/3!>0, 因此在
在x0左右邻域，f(x)-f(x0)的符号由负变正，故x0不是极值点。
同样若f"'(x0)<0, 也同样得x0不是极值点。

另外，若三阶导等于0，但四阶导不等于0，则x0是极值点。