Question

在四棱锥P-ABCD中,角ABC=角ACD=90°,角BAC=角CAD=60°PA垂直面ABCD

在四棱锥P-ABCD中,角ABC=角ACD=90°,角BAC=角CAD=60°PA垂直面ABCD,PA=2AB=2,F分别是PC的中点,FE平行于平面ABCD并交PD于E
求证：（1）PC⊥AEF
（2）求四棱锥P-ABCD的体积

Answer 1

(1)取pc的中点f，连接AF AE EF
∵∠BAC=60° ∠ABC=90° AB=1
∴AC=AP=2,
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC
∴AF⊥PC
∵PA⊥平面ABCD AC⊥CD
∴DC⊥平面PAC PC⊥CD
∵E为PD中点 F为PC中点
∴EF⊥PC
∴PC⊥平面AEF,又∵AE含于平面AEF∴PC⊥AE

追答

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD
∵∠ACD=90°，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC
∵CD⊂平面DPC
∴平面DPC⊥平面PAC
由（1）知EF就是面PAC的垂线
则△PAC是等腰直角三角形
△PAC的面积＝2 *2*1/2=2
EF＝1/2AD＝2
所求体积＝△PAC面积*EF*1/3＝ 4/3