Question

已知fx=2的x次方/(4的x次方 a)若y=fx为偶函数，求a的值。若a＞0，试探究y=f(x)

已知fx=2的x次方/(4的x次方 a)若y=fx为偶函数，求a的值。若a＞0，试探究y=f(x)在(0，1]上的单调性，并证明。

Answer 1

f(x)=2^x/(4^x+a) = 2^x/{2^(2x)+a}

第一问：
∵偶函数
∴f(-x)=f(x)
∴(2^(-x)/{2^(-2x)+a} = 2^x/{2^(2x)+a}
2^x *{2^(-2x)+a}= 2^(-x)*{2^(2x)+a}
2^(-x)+a*2^x= 2^x+a*2^(-x)
2^(-x) + a*2^x - 2^x - a*2^(-x) = 0
{a*2^x - 2^x} - {a*2^(-x) -2^(-x) } = 0
(a-2)*2^x-(a-2)*2^(-x) = 0
(a-2){2^x-2^(-x)} = 0
a-2=0
a=2

第二问：
f(x) = 2^x/{2^(2x)+a}
分子分母同除以2^x：
f(x) = 1/{2^x+a/2^x} = 1 / { [√(2^x) - √a/√(2^x)]² + 2√a }

0＜2^x＜√a时，分母↓，f(x)↑
2^x=√a是，f(x)有极大值
2^x＞√a时，分母↑，f(x)↓
在区间（0，1】
如果0＜a＜4，则单调增区间为（0，1/2log2[a]），单调减区间（1/2log2[a]，1）

如果a≥4，则单调增区间为（0，1）

Answer 2

f(x)=2^x/(4^x+a)
f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+a]=2^x/(a4^x+1)=2^x/(4^x+a)
a4^x+1=4^x+a
∴a=1
(2)f'(x)=[2^x·ln2(4^x+a)-2^x·2ln2·4^x]/(4^x+a)²
=ln2·2^x(a-2^2x)/(4^x+a)²
驻点：a=2^2x→x=1/2log₂a
a≥4,区间不包含驻点，f'(x)>0,f(x)单调递增
0<a<4:区间包含驻点
0<x<1/2log₂a,f'(x)>0,f(x)单调递增
1/2log₂a<x≤1,f'(x)<0,f(x)单调递减