图片中的第三大题证明题中的二三小题用大学高等数学中的微分中值定理来做（微分中值定理包含费马定理，罗
图片中的第三大题证明题中的二三小题用大学高等数学中的微分中值定理来做（微分中值定理包含费马定理，罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理），还有第六大题。谢谢帮忙做的各位！！...
图片中的第三大题证明题中的二三小题用大学高等数学中的微分中值定理来做（微分中值定理包含费马定理，罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理），还有第六大题。谢谢帮忙做的各位！！
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3.(2) 设f(x)=arctanx
f'(x)=1/(1+x²)
由拉格朗日中值定理有
[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)
其中，ξ∈(a,b)
即有 (arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ξ²)
∵0<1/(1+ξ²)≤1
∴(arctanb-arctana)/(b-a)=∣arctanb-arctana∣/∣b-a∣≤1
即 ∣arctanb-arctana∣≤∣b-a∣
(3) 设f(x)=e∧x，g(x)=x
则f'(x)=e∧x，g'(x)=1
对ξ∈(1,x)，应用柯西中值定理
[f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(ξ)/g'(ξ)
即 (e∧x-e)/(x-1)=e∧ξ/1
∵ξ>1, ∴e∧ξ>e
∴(e∧x-e)/(x-1)>e
又x-1>0
∴e∧x-e>e*(x-1)=e*x-e
即 e∧x>e*x
f'(x)=1/(1+x²)
由拉格朗日中值定理有
[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)
其中，ξ∈(a,b)
即有 (arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ξ²)
∵0<1/(1+ξ²)≤1
∴(arctanb-arctana)/(b-a)=∣arctanb-arctana∣/∣b-a∣≤1
即 ∣arctanb-arctana∣≤∣b-a∣
(3) 设f(x)=e∧x，g(x)=x
则f'(x)=e∧x，g'(x)=1
对ξ∈(1,x)，应用柯西中值定理
[f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(ξ)/g'(ξ)
即 (e∧x-e)/(x-1)=e∧ξ/1
∵ξ>1, ∴e∧ξ>e
∴(e∧x-e)/(x-1)>e
又x-1>0
∴e∧x-e>e*(x-1)=e*x-e
即 e∧x>e*x
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